Retta dei minimi quadrati

Come si incollano i dati

Serve una riga per ogni coppia di misure, con la x nella prima colonna e la y nella seconda. Puoi copiare direttamente due colonne da Excel, da LibreOffice o da Fogli Google (arrivano separate da tabulazione), oppure usare il punto e virgola, la virgola o semplicemente uno spazio. Il decimale può essere la virgola o il punto, e se il riconoscimento automatico sbaglia lo puoi imporre dal menu a tendina. Di ogni riga vengono presi i primi due numeri, quindi funziona anche un incolla che si porta dietro la colonna delle etichette. Le righe senza due numeri non fanno fallire il calcolo, vengono contate e la pagina ti dice quali sono.

Che cosa minimizzano i minimi quadrati

Fra tutte le rette possibili il metodo sceglie quella che rende minima la somma dei quadrati dei residui, cioè delle distanze verticali fra ogni punto e la retta (sono i segmenti grigi del grafico). Le formule sono m = somma di (x meno la media di x) per (y meno la media di y), diviso la somma di (x meno la media di x) al quadrato, e q = media di y meno m per la media di x. Da qui discende un fatto che sorprende in molti: siccome gli scarti si misurano in verticale, la retta di y su x e quella di x su y sono due rette diverse, non l'una l'inversa dell'altra. Il modello dà per scontato che l'incertezza stia sulla y e che sia più o meno la stessa su tutto l'intervallo.

R quadro e correlazione, cosa dicono e cosa no

R quadro è la frazione della variabilità di y che la retta riesce a spiegare (0,95 vuol dire che resta senza spiegazione il 5 per cento), mentre r porta anche il segno e dice se la relazione è crescente o decrescente. Per la retta libera R quadro è esattamente r al quadrato. Nessuno dei due dimostra che ci sia un rapporto di causa, e nessuno dei due si accorge da solo di una curva: il quartetto di Anscombe è fatto apposta di quattro serie con la stessa retta, le stesse medie e lo stesso R quadro, di cui una sola è davvero lineare. Per questo il tool mostra sempre i punti, i residui e la riga più lontana dalla retta, che nove volte su dieci è un errore di battitura.

Errori, intervalli e previsione

Con almeno tre punti si stima anche lo scarto tipico dei residui s (la radice della somma dei quadrati dei residui divisa per i gradi di libertà, che sono n meno 2), e da lì l'errore standard della pendenza e dell'intercetta. Gli intervalli mostrati sono al 95 per cento e usano la t di Student con quei gradi di libertà. La previsione di y per una x nuova porta un intervallo più largo di quello della retta, perché somma l'incertezza della retta a quella della singola misura, e si allarga man mano che ci si allontana dal centro dei dati. Se la x che scrivi cade fuori dall'intervallo misurato la pagina lo dice, perché lì la retta è solo un prolungamento e nessun dato la sostiene.

Retta di taratura, origine forzata e limiti dichiarati

Il campo che trova la x a partire da una y serve alla retta di taratura: misuri il segnale di un campione ignoto e leggi la concentrazione. L'incertezza mostrata usa la formula classica della calibrazione ed è affidabile finché la pendenza è ben determinata, cioè molto più grande del suo errore standard. L'opzione della retta per l'origine impone q = 0 e calcola m come somma di x per y diviso somma di x al quadrato: è onesta solo se sai per fisica che a x uguale a zero anche la y deve valere zero, e in quel caso l'R quadro mostrato (sempre calcolato rispetto alla media di y) può venire anche negativo e non va confrontato con quello della retta libera. Restano fuori la regressione con più variabili, i minimi quadrati pesati e le curve, perché qui c'è una retta sola. Con due soli punti il risultato è esatto per costruzione e quindi privo di significato.