Risolvi un triangolo

Come si usa

Scegli in alto quali tre dati conosci e riempi i tre campi che compaiono. Il risultato si aggiorna mentre scrivi, senza premere nulla. I decimali si possono scrivere con la virgola o con il punto; gli angoli si accettano in gradi decimali (37,5) oppure in gradi, primi e secondi, scritti come 37° 30' 15" o semplicemente 37 30 15. Le lunghezze non hanno unità di misura: se inserisci centimetri leggerai centimetri, e l'area sarà in centimetri quadrati. Passando da un caso all'altro i valori che avevi scritto restano al loro posto, così puoi confrontare due impostazioni dello stesso problema.

Perché bastano tre dati (e perché tre angoli no)

Un triangolo ha sei elementi, tre lati e tre angoli, ma ne bastano tre per fissarlo, purché almeno uno sia un lato. I casi possibili sono cinque, e sono proprio quelli del menù: LLL, LAL, ALA, AAL, LLA. Manca apposta il caso AAA, i tre angoli: se conosci solo gli angoli sai la forma del triangolo ma non la sua grandezza, perché tutti i triangoli simili hanno gli stessi angoli e lati diversi. Nella pagina il vertice A porta l'angolo α e gli sta di fronte il lato a, e la stessa regola vale per B con β e b, per C con γ e c.

Le formule applicate

Il teorema del coseno, a² = b² + c² - 2·b·c·cos α, serve quando l'angolo noto è compreso fra i due lati (LAL) e, girato come cos α = (b² + c² - a²) / (2·b·c), quando conosci i tre lati (LLL). Il teorema dei seni, a / sen α = b / sen β = c / sen γ, serve quando conosci due angoli e un lato (ALA e AAL), dopo aver ricavato il terzo angolo da α + β + γ = 180°. L'area esce dalla formula di Erone con il semiperimetro, il raggio della circonferenza inscritta è r = Area / p, quello della circoscritta è R = a·b·c / (4·Area) e le altezze sono il doppio dell'area diviso il lato su cui cadono. Nei passaggi trovi ogni formula con i tuoi numeri già sostituiti, così puoi ricopiarla sul quaderno e controllarla.

Il caso ambiguo LLA, quello che fa perdere i compiti in classe

Quando conosci due lati e un angolo NON compreso fra loro, i triangoli possono essere due. Immagina di appoggiare il lato b sul vertice A con l'inclinazione α e di far girare il lato a come un compasso finché tocca la base: se a è più corto dell'altezza b · sen α non tocca mai e il triangolo non esiste; se è lungo esattamente quanto l'altezza tocca in un punto solo e l'angolo β vale 90°; se sta fra l'altezza e b tocca in due punti e i triangoli sono due, uno con β acuto e uno con β ottuso; se è lungo almeno quanto b il secondo punto cade dalla parte sbagliata e il triangolo torna a essere uno solo. Il tool ti dice sempre in quale di queste situazioni sei e, quando le soluzioni sono due, le mostra tutte e due con il loro disegno: sta a te scegliere quella che corrisponde alla figura che hai davanti.

Limiti dichiarati e arrotondamenti

I valori sono mostrati con quattro decimali, mentre il calcolo interno lavora in doppia precisione con circa quindici cifre: se un angolo esce 59,9999° invece di 60° è l'effetto dell'arrotondamento, non un errore del metodo. I campi accettano fino a 12 cifre intere e 10 decimali e segnalano l'errore invece di calcolare in silenzio; se la somma di due angoli sfiora 180° i lati diventano enormi e il tool lo dichiara invece di stampare numeri privi di senso. Il disegno è in scala e serve a capire la figura, non è un disegno tecnico: prima di un taglio vero verifica sempre con una misura sul pezzo. Tutto il calcolo avviene nel tuo browser e nessun dato viene inviato a un server.