Sistemi di equazioni lineari
Scrivi i coefficienti di un sistema 2x2 o 3x3 e ottieni la soluzione in frazioni esatte, i passaggi del metodo che scegli e la verifica. Anche i casi impossibile e indeterminato, spiegati.
Nei campi puoi scrivere numeri interi, decimali con la virgola e frazioni come 3/2. Un campo vuoto vale 0, e il risultato riscrive sempre il sistema come è stato letto.
Come si usa
Scegli se il sistema ha 2 o 3 equazioni, poi scrivi i coefficienti nella griglia: ogni riga è un'equazione, l'ultimo campo dopo l'uguale è il termine noto. Vanno bene i numeri interi, i decimali con la virgola e le frazioni scritte come 3/2. Se un'incognita non compare in un'equazione lascia il campo vuoto oppure scrivi 0. Il riquadro del risultato riscrive sempre il sistema come è stato letto, così ti accorgi subito di un segno sbagliato prima di guardare la soluzione.
Perché la soluzione è in frazioni
Prendi il sistema 0,1x + 0,2y = 0,3 con x - y = 0: la soluzione è x = 1, ma una calcolatrice che lavora in virgola mobile risponde 0,9999999999999998, perché in binario 0,1 + 0,2 non fa esattamente 0,3. Qui i conti girano su frazioni con numeratore e denominatore interi, quindi quella soluzione viene 1 esatto e 1/3 resta 1/3 invece di diventare 0,333. Accanto alla frazione trovi il valore decimale, preceduto da = quando la scrittura decimale finisce davvero e da ≈ quando è arrotondato, così non spacciamo per esatto un numero che non lo è.
I tre metodi, e quando conviene ognuno
La sostituzione ricava un'incognita da un'equazione e la mette nelle altre, ed è la più naturale quando c'è già un coefficiente 1. La riduzione lavora sulle righe della tabella dei coefficienti sommandole fra loro (è l'eliminazione di Gauss, la stessa cosa che a scuola si chiama metodo di addizione), e regge bene anche il 3x3. La regola di Cramer calcola un determinante per il sistema e uno per ogni incognita, ed è comoda quando ti serve una sola incognita, ma funziona solo se il determinante D non è zero. Il risultato non cambia con il metodo: cambia solo il racconto dei passaggi.
Impossibile e indeterminato, senza la scorciatoia sbagliata
Un sistema è impossibile quando le equazioni si contraddicono (due rette parallele distinte) e indeterminato quando una equazione ripete l'altra (la stessa retta), e allora le soluzioni sono infinite e si scrivono con un parametro. Molti manuali dicono che con D, Dx e Dy tutti nulli il sistema è indeterminato, ma non è vero sempre: il sistema 0x + 0y = 0 e 0x + 0y = 1 ha tutti i determinanti nulli ed è impossibile. Per questo qui il caso viene deciso riducendo davvero le equazioni e contando quante ne restano di indipendenti, mentre il determinante è riportato come nota.
Limiti dichiarati
Il tool tratta sistemi lineari quadrati, cioè 2 equazioni con 2 incognite o 3 con 3 incognite. Non gestisce potenze o prodotti fra incognite (niente x², niente xy), sistemi con più equazioni che incognite, disequazioni o parametri letterali dentro i coefficienti. Ogni numero può avere al massimo 12 cifre intere e 10 decimali. Il calcolo avviene tutto dentro il tuo browser e nessun dato viene inviato da nessuna parte. Resta buona abitudine rifare la verifica a mano, che qui trovi già scritta passo per passo.