Risolvi la disequazione

Le tre risposte che non sono un numero

Una disequazione di secondo grado non finisce sempre con due numeri e un intervallo, e i tre casi che restano sono proprio quelli in cui si sbaglia. Se il delta è negativo il trinomio non tocca mai l'asse: con il verso concorde è sempre vera, cioè va bene ogni numero reale, e con il verso discorde non ha nessuna soluzione. Se il delta è zero il trinomio tocca l'asse in un punto solo: con il maggiore stretto vanno bene tutti i numeri tranne quello, e con il minore stretto non ne va bene nessuno.

Sono risposte giuste, non errori: un insieme vuoto è una risposta, e «ogni numero reale» pure. La pagina le scrive a parole oltre che in simboli, perché a un compito scritto «impossibile» e «nessuna soluzione» non sono la stessa frase, e la seconda è quella giusta. Se quello che hai davanti ha l'uguale al posto del maggiore o del minore, la pagina che serve è Equazioni di secondo grado.

La tabella dei segni, disegnata

Il segno di un prodotto è il prodotto dei segni, ed è per questo che una disequazione si risolve scomponendo e poi guardando un fattore per volta. La pagina disegna la tabella come sul quaderno: una riga per ogni fattore, i punti che lo annullano in colonna, la riga continua dove quel fattore è positivo e tratteggiata dove è negativo. L'ultima riga è il segno di tutta l'espressione, con il più e il meno intervallo per intervallo.

Le righe dei fattori che stanno al denominatore sono in grigio, perché contano per il segno esattamente come le altre ma i loro zeri restano fuori dalle soluzioni. Le colonne dei punti critici sono in ordine crescente, e le radici irrazionali stanno in colonna al posto giusto anche quando il loro valore si legge solo arrotondato. Se prima devi scomporre un polinomio da solo, c'è Scomposizione in fattori.

Gli zeri del denominatore si escludono, e si dice perché

In una disequazione fratta il numero che annulla il denominatore non entra mai fra le soluzioni, nemmeno quando il verso è quello non stretto: lì la frazione non esiste, non è che vale zero. È l'errore più frequente delle fratte, e una parentesi tonda da sola non lo insegna, perché quella stessa parentesi si usa anche accanto all'infinito. Per questo la pagina lo scrive con una frase: quel valore va escluso perché annulla il denominatore.

C'è un caso in cui anche i libri scivolano: se lo stesso fattore compare sopra e sotto e si semplifica, il punto resta comunque fuori dal dominio. In una scrittura come (x-1)(x+2)/(x-1) il valore 1 non va bene, anche se dopo la semplificazione non si vede più. Qui il dominio si raccoglie mentre si legge la disequazione, prima di semplificare, quindi quel punto non si perde. Se ti serve solo il valore di un'espressione numerica passo passo, la pagina è Risolvi l'espressione passo passo.

Come si scrive la disequazione, e cosa non faccio

Si scrive per intero, con il verso in mezzo: x^2 - 5x + 6 > 0, oppure (x-1)/(x+2) >= 0, oppure già scomposta come (x-1)(x+3)(x-5) < 0. Il per si può sottintendere (2x, 3(x+1)), la potenza è il segno ^ e i versi si possono scrivere anche <= e >=. I due membri possono essere tutti e due pieni: ci penso io a portare tutto a sinistra, e il passaggio è scritto.

Quello che non faccio è dichiarato invece di essere indovinato: niente valore assoluto, niente incognita sotto radice o all'esponente, niente logaritmi, niente parametri letterali nei coefficienti (la risposta dipenderebbe dal segno del parametro) e niente sistemi, cioè due disequazioni insieme come -1 < x < 3. E se dopo la scomposizione resta un pezzo di grado più alto del secondo che non si spezza, lo dico invece di rispondere a caso. Per le equazioni con due incognite messe a sistema c'è Sistemi di equazioni.