Resuelve la inecuación

Las tres respuestas que no son un número

Una inecuación de segundo grado no acaba siempre con dos números y un intervalo, y los tres casos que quedan son justo aquellos en los que se falla. Si el discriminante es negativo el trinomio no toca nunca el eje: con el signo concorde es siempre verdadera, o sea vale cualquier número real, y con el signo discorde no tiene ninguna solución. Si el discriminante es cero el trinomio toca el eje en un solo punto: con el mayor estricto valen todos los números menos ese, y con el menor estricto no vale ninguno.

Son respuestas correctas, no errores: un conjunto vacío es una respuesta, y «cualquier número real» también. La página las escribe con palabras además de con símbolos, porque en un examen escrito «imposible» y «sin solución» no son la misma frase, y la segunda es la buena. Si lo que tienes delante lleva el igual en lugar del mayor o del menor, la página que hace falta es Ecuación de segundo grado.

La tabla de signos, dibujada

El signo de un producto es el producto de los signos, y por eso una inecuación se resuelve factorizando y mirando después un factor cada vez. La página dibuja la tabla como en el cuaderno: una fila por cada factor, los puntos que lo anulan en columna, la línea continua donde ese factor es positivo y discontinua donde es negativo. La última fila es el signo de toda la expresión, con el más y el menos intervalo por intervalo.

Las filas de los factores que están en el denominador son grises, porque cuentan para el signo igual que las demás pero sus ceros se quedan fuera de las soluciones. Las columnas de los puntos críticos están en orden creciente, y las raíces irracionales están en la columna correcta incluso cuando su valor solo se lee redondeado. Si antes tienes que factorizar un polinomio por tu cuenta, está Factorización de polinomios.

Los ceros del denominador se dejan fuera, y se dice por qué

En una inecuación racional el número que anula el denominador no entra nunca entre las soluciones, ni siquiera cuando el signo es el no estricto: ahí la fracción no existe, no es que valga cero. Es el error más frecuente de las racionales, y un paréntesis redondo por sí solo no lo enseña, porque ese mismo paréntesis se usa también junto al infinito. Por eso la página lo escribe con una frase: ese valor hay que dejarlo fuera porque anula el denominador.

Hay un caso en el que también los libros resbalan: si el mismo factor aparece arriba y abajo y se simplifica, el punto se queda igualmente fuera del dominio. En algo como (x-1)(x+2)/(x-1) el valor 1 no vale, aunque después de simplificar ya no se vea. Aquí el dominio se recoge mientras se lee la inecuación, antes de simplificar, así que ese punto no se pierde. Si solo necesitas el valor de una expresión numérica paso a paso, la página es Resuelve la expresión paso a paso.

Cómo se escribe, y lo que no hago

Se escribe entera, con el signo en medio: x^2 - 5x + 6 > 0, o bien (x-1)/(x+2) >= 0, o ya factorizada como (x-1)(x+3)(x-5) < 0. El por se puede sobrentender (2x, 3(x+1)), la potencia es el signo ^ y los signos se pueden escribir también <= y >=. Los dos miembros pueden estar los dos llenos: llevarlo todo a la izquierda es cosa mía, y ese paso queda escrito.

Lo que no hago está declarado en vez de adivinado: nada de valor absoluto, nada de incógnita bajo una raíz o en el exponente, nada de logaritmos, nada de parámetros con letras en los coeficientes (la respuesta dependería del signo de ese parámetro) y nada de sistemas, o sea dos inecuaciones juntas como -1 < x < 3. Y si después de factorizar queda un trozo de grado mayor que el segundo que no se parte, lo digo en vez de responder al azar. Para las ecuaciones con dos incógnitas puestas en sistema está Sistemas de ecuaciones.