Winkel umrechnen

Grad, Radiant, Gon und Umdrehungen: wann man was verwendet

Grad (eine volle Umdrehung = 360°) ist die Alltagseinheit, die du aus der Schulgeometrie, vom Geodreieck und aus dem Wetterbericht zur Windrichtung kennst. Radiant (eine volle Umdrehung = 2π) ist der Standard in Mathematik und Programmierung: Die trigonometrischen Funktionen fast aller Sprachen, JavaScript eingeschlossen, arbeiten nur mit Radiant. Gon, auch „Neugrad“ genannt (eine volle Umdrehung = 400), ist vor allem noch in der Vermessung und in den Tachymetern der Vermessungsingenieure üblich, weil es aus einem rechten Winkel bequeme 100 macht.

Und dann gibt es die Umdrehung: die einfachste Einheit von allen. Eine volle Umdrehung ist 1 und ein rechter Winkel 0,25. CSS verwendet sie (die Einheit „turn“), ebenso mehrere Grafikprogramme, und sie ist die natürlichste Art, „eine Dreivierteldrehung“ auszudrücken.

Grad, Minuten und Sekunden

Ein Grad ist in 60 Minuten unterteilt und eine Minute in 60 Sekunden, wie bei der Uhrzeit: 45° 30′ 15″ bedeutet 45 Grad, ein halber Grad und fünfzehn Sekunden, also 45,504167°. So schreiben Seekarten, Vermessungsinstrumente und die Astronomie Winkel.

Ins Feld schreibst du den Winkel so, wie du ihn hast: 45° 30′ 15″, 45°30'15", 45 30 15 oder 45:30:15, mit einem Minus davor für einen negativen Winkel. Minuten und Sekunden gehen von 0 bis 59, und nur die letzte Zahl darf Nachkommastellen haben. Das Ergebnis in Grad, Minuten und Sekunden reicht bis zur Hundertstelsekunde, und gerundet wird zuerst die Summe: So erscheint ein Winkel nie als 30′ 60″.

Die Umrechnung und die Zahl, die man sich merken sollte

Eine halbe Umdrehung ist 180° = π Radiant: Daraus folgt alles. Eine volle Umdrehung ist 360° = 2π; ein rechter Winkel ist 90° = π/2 ≈ 1,5708; 60° sind π/3 ≈ 1,0472; 45° sind π/4 ≈ 0,7854; 30° sind π/6 ≈ 0,5236. Fürs Kopfrechnen: Ein Radiant ist etwas weniger als 57,3 Grad, ein recht weiter Winkel, mehr als ein halber rechter Winkel.

Die Formeln lauten Radiant = Grad × π ÷ 180, Gon = Grad × 10 ÷ 9 und Umdrehungen = Grad ÷ 360. Wenn der Winkel in Grad eine ganze Zahl ist oder einen einfachen Dezimalteil hat wie 22,5 oder 7,5, zeigt der Umrechner auch den exakten Wert als Vielfaches von π (45° = π/4, 22,5° = π/8): Zum Rechnen von Hand ist das viel nützlicher als die Dezimalzahl 0,785398.

Warum es Radiant gibt

Weil der Grad eine Konvention ist (die 360 Grad stammen von den Babyloniern, nicht aus der Geometrie), während der Radiant ein natürliches Maß ist: Ein Winkel von einem Radiant schneidet auf dem Kreis einen Bogen ab, der so lang ist wie der Radius. Aus dieser Definition folgt die Bequemlichkeit: Die Länge eines Bogens ist einfach Radius × Winkel, ohne Umrechnungsfaktor, und in der Physik schreibt man die Drehgeschwindigkeit genauso.

Der Fehler, den jeder beim ersten Mal macht

In Programmiersprachen erwarten die Funktionen für Sinus, Kosinus und Tangens Radiant, nicht Grad, und sie sagen es nicht dazu: Wer 90 statt 1,5708 übergibt, bekommt keinen Fehler, sondern eine falsche Zahl, die plausibel aussieht. Das gilt für JavaScript, Python, C, Java und für Tabellenkalkulationen. Wenn sich eine Zeichnung nur ein bisschen dreht, obwohl sie sich um eine Vierteldrehung drehen sollte, ist das fast immer die Ursache.

Es gibt eine dritte Einheit, die auch auf wissenschaftlichen Taschenrechnern auftaucht, das Gon (400 pro Umdrehung, die Taste GRAD): Wenn deine Trigonometrie-Ergebnisse alle leicht merkwürdig sind, prüfe, ob der Rechner nicht darauf statt auf DEG eingestellt ist.

Siehe auch

Für geografische Koordinaten mit Nord, Süd, Ost und West gibt es den GPS-Koordinaten-Umrechner. Für Rechnungen mit Sinus und Kosinus nimmst du den wissenschaftlichen Rechner, für Dreiecke den Dreiecksrechner.