Beliebiges Dreieck berechnen

So funktioniert es

Wähle oben, welche drei Werte du kennst, und fülle die drei Felder aus, die erscheinen. Das Ergebnis aktualisiert sich beim Tippen, ohne dass du etwas drücken musst. Dezimalzahlen gehen mit Punkt oder Komma; Winkel in Dezimalgrad (37,5) oder in Grad, Minuten und Sekunden, geschrieben als 37° 30' 15" oder einfach 37 30 15. Längen haben keine Einheit: Gibst du Zentimeter ein, liest du Zentimeter ab, und die Fläche kommt in Quadratzentimetern heraus. Beim Wechsel von einem Fall zum anderen bleiben die eingegebenen Werte erhalten, so kannst du zwei Lesarten derselben Aufgabe vergleichen.

Warum drei Werte reichen (und drei Winkel nicht)

Ein Dreieck hat sechs Stücke, drei Seiten und drei Winkel, und drei davon legen es fest, sofern mindestens eines eine Seite ist. Das ergibt genau die fünf Fälle aus dem Menü: SSS, SWS, WSW, SWW, SSW. Der Fall WWW fehlt mit Absicht: Drei Winkel legen die Form fest, aber nicht die Größe, denn alle ähnlichen Dreiecke haben dieselben Winkel bei verschiedenen Seiten. Auf dieser Seite hat die Ecke A den Winkel α und liegt der Seite a gegenüber, und dieselbe Regel gilt für B mit β und b sowie für C mit γ und c.

Die Formeln hinter dem Ergebnis

Der Kosinussatz, a² = b² + c² - 2·b·c·cos α, löst den Fall, in dem der bekannte Winkel zwischen den beiden Seiten liegt (SWS), und umgestellt zu cos α = (b² + c² - a²) / (2·b·c) den Fall mit drei bekannten Seiten (SSS). Der Sinussatz, a / sin α = b / sin β = c / sin γ, löst die Fälle mit zwei Winkeln und einer Seite (WSW und SWW), sobald der dritte Winkel aus α + β + γ = 180° folgt. Die Fläche ergibt sich aus der Heronschen Formel mit dem halben Umfang, der Inkreisradius ist r = Fläche / p, der Umkreisradius R = a·b·c / (4·Fläche), und jede Höhe ist die doppelte Fläche geteilt durch die Seite, auf der sie steht. Der Block mit dem Rechenweg wiederholt jede Formel mit deinen eigenen, bereits eingesetzten Zahlen, sodass du sie aufs Papier übertragen und prüfen kannst.

Der mehrdeutige Fall SSW, der Punkte kostet

Kennst du zwei Seiten und einen Winkel, der NICHT zwischen ihnen liegt, kann es zwei Dreiecke geben. Stell dir die Seite b vor, die an der Ecke A mit der Neigung α anliegt, und schwenke dann die Seite a wie einen Zirkel, bis sie die Grundseite erreicht: Ist a kürzer als die Höhe b · sin α, reicht sie nie bis dorthin, und es gibt kein Dreieck; ist sie genau so lang wie die Höhe, berührt sie die Grundseite in einem Punkt, und der Winkel β beträgt 90°; liegt ihre Länge zwischen der Höhe und b, schneidet sie die Grundseite in zwei Punkten, und es gibt zwei Dreiecke, eines mit spitzem β und eines mit stumpfem β; ist sie mindestens so lang wie b, fällt der zweite Punkt auf die falsche Seite, und du hast wieder ein einziges Dreieck. Das Tool sagt dir immer, in welcher dieser Situationen du bist, und zeigt bei zwei Lösungen beide mit eigener Zeichnung, damit du die wählen kannst, die zu deiner Figur passt.

Offen genannte Grenzen und Rundung

Die Werte werden mit vier Dezimalstellen angezeigt, gerechnet wird aber in doppelter Genauigkeit mit etwa fünfzehn Stellen. Ein Winkel, der 59,9999° statt 60° anzeigt, ist also ein Rundungseffekt und kein Fehler der Methode. Die Felder akzeptieren bis zu 12 Vorkommastellen und 10 Nachkommastellen und melden einen Fehler, statt stillschweigend zu rechnen; ergeben zwei Winkel zusammen fast 180°, werden die Seiten riesig, und das Tool sagt es, statt sinnlose Zahlen auszugeben. Die Zeichnung ist maßstabsgetreu und soll die Figur verdeutlichen, sie ist keine technische Zeichnung: Prüfe vor einem echten Zuschnitt immer mit einer Messung am Werkstück. Alles läuft in deinem Browser, und keine Daten werden an einen Server gesendet.