Fibonacci-Folge
Gib ein, wie viele Zahlen du möchtest, und erzeuge die Fibonacci-Folge (jede Zahl ist die Summe der beiden vorherigen).
Was ist die Fibonacci-Folge?
Eine Folge, in der jede Zahl die Summe der beiden vorherigen ist: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Man beginnt mit zwei Einsen, mehr braucht es nicht. Sie erscheint in einem Buch von 1202, dem Liber Abaci des Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, in einer Aufgabe über die Vermehrung von Kaninchen, und ist zur berühmtesten Folge der Mathematik geworden.
Die Zahlen sind exakt, auch die riesigen
Die Glieder wachsen schnell: Das 50. übersteigt zwölf Milliarden, das 100. hat einundzwanzig Stellen. Ab einem gewissen Punkt verlieren die gewöhnlichen Zahlen eines Computers ihre letzten Ziffern stillschweigend, und das Ergebnis sieht richtig aus, ist es aber nicht. Hier werden ganze Zahlen mit beliebiger Genauigkeit verwendet, sodass sogar das fünfhundertste Glied mit allen Ziffern geschrieben wird, nicht gerundet.
Der Goldene Schnitt ergibt sich von selbst
Teilt man jede Zahl durch die vorherige, nähert sich das Ergebnis immer mehr dem Wert 1,6180339…, dem Goldenen Schnitt: 5/3 = 1,666…, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615… Das ist weder Zufall noch eine mystische Eigenschaft: Es passiert bei jeder Folge, die durch Addition der beiden vorherigen Glieder entsteht, egal mit welchem Zahlenpaar man beginnt.
Wo sie in der Natur wirklich vorkommt und wo nicht
Nachweisbar steckt sie in der Anordnung von Blättern und Samen: Zählt man die Spiralen einer Sonnenblume, erhält man fast immer ein Paar von Fibonacci-Zahlen (34 und 55 oder 55 und 89), und dasselbe gilt für Kiefernzapfen und Ananas. Der Grund ist geometrisch: Dieser Drehwinkel ist die effizienteste Art, Samen anzuordnen, ohne dass sie sich überlappen.
Nicht zu finden ist sie dagegen in vielen Dingen, die gern als Beispiel angeführt werden. Das Nautilusgehäuse ist eine logarithmische Spirale, aber nicht die goldene; der Parthenon, die Mona Lisa und Kreditkarten „mit goldenen Proportionen“ sind weitgehend eine Erfindung des neunzehnten Jahrhunderts, die seitdem immer wieder erzählt wird. Die Folge ist interessant genug, um keine Legenden zu brauchen.
Siehe auch
Für die Fakultät, die andere Folge, die wie eine Lawine wächst, gibt es das Tool Fakultät (n!). Für Zufallszahlen gibt es den Zufallszahlengenerator, und für Ausdrücke mit Potenzen und Wurzeln den wissenschaftlichen Rechner.