Resolva qualquer triângulo

Como usar

Escolha no alto quais três valores você conhece e preencha os três campos que aparecem. A resposta se atualiza enquanto você digita, sem nada para apertar. Os decimais aceitam ponto ou vírgula; os ângulos aceitam graus decimais (37,5) ou graus, minutos e segundos, escritos como 37° 30' 15" ou simplesmente 37 30 15. Os comprimentos não têm unidade, então, se você digita centímetros, lê centímetros na resposta e a área sai em centímetros quadrados. Trocar de um caso para outro mantém os valores que você digitou, para você comparar duas leituras do mesmo problema.

Por que três valores bastam (e por que três ângulos não)

Um triângulo tem seis elementos, três lados e três ângulos, e três deles o determinam desde que pelo menos um seja um lado. Isso dá exatamente cinco casos, os do menu: LLL, LAL, ALA, LAAo, LLA. O caso AAA está ausente de propósito: três ângulos dão a forma, mas não o tamanho, porque todos os triângulos semelhantes têm os mesmos ângulos com lados diferentes. Nesta página o vértice A tem o ângulo α e fica oposto ao lado a, e a mesma regra vale para B com β e b, e para C com γ e c.

As fórmulas por trás da resposta

A lei dos cossenos, a² = b² + c² - 2·b·c·cos α, resolve o caso em que o ângulo conhecido fica entre os dois lados (LAL) e, reorganizada como cos α = (b² + c² - a²) / (2·b·c), o caso dos três lados conhecidos (LLL). A lei dos senos, a / sen α = b / sen β = c / sen γ, resolve os casos de dois ângulos e um lado (ALA e LAAo) depois que o terceiro ângulo sai de α + β + γ = 180°. A área vem da fórmula de Heron com o semiperímetro, o raio inscrito é r = Área / p, o raio circunscrito é R = a·b·c / (4·Área) e cada altura é o dobro da área dividido pelo lado sobre o qual ela cai. O bloco do passo a passo repete cada fórmula com os seus próprios números já substituídos, para você copiar no papel e conferir.

O caso ambíguo LLA, o que faz perder pontos na prova

Quando você conhece dois lados e um ângulo que NÃO está entre eles, pode haver dois triângulos. Imagine o lado b apoiado no vértice A com inclinação α e gire o lado a como um compasso até alcançar a base: se a for menor que a altura b · sen α, ele nunca alcança e não existe triângulo; se for igual à altura, toca em um ponto e o ângulo β é 90°; se estiver entre a altura e b, toca em dois pontos e há dois triângulos, um com β agudo e outro com β obtuso; se for pelo menos tão longo quanto b, o segundo ponto cai do lado errado e você volta a ter um único triângulo. A ferramenta sempre diz em qual dessas situações você está e, quando há duas soluções, mostra as duas, cada uma com seu desenho, para você escolher a que corresponde à figura que você tem à sua frente.

Limites declarados e arredondamento

Os valores são mostrados com quatro casas decimais, enquanto o cálculo roda em precisão dupla com cerca de quinze dígitos, então um ângulo que aparece como 59,9999° em vez de 60° é o arredondamento em ação, não uma falha do método. Os campos aceitam até 12 dígitos inteiros e 10 decimais e mostram um erro em vez de calcular em silêncio; se dois ângulos somarem quase 180°, os lados ficam enormes e a ferramenta avisa em vez de imprimir números sem sentido. O desenho é em escala e serve para deixar a figura clara, não como desenho técnico: antes de um corte de verdade, confira sempre com uma medida na peça. Tudo roda no seu navegador e nenhum dado é enviado a um servidor.