Ausgleichsgerade (lineare Regression)
Füge zwei Zahlenspalten ein, und das Tool findet die Gerade, die am besten passt, mit R², Korrelation, Standardfehlern, einem Residuendiagramm und Vorhersagen in beide Richtungen.
Eine Zeile pro Wertepaar. Tabulatoren (direkt aus Excel oder Google Sheets kopiert), Semikolons, Kommas und Leerzeichen funktionieren alle, ebenso Komma und Punkt als Dezimaltrennzeichen. Enthält die erste Zeile die Spaltennamen, werden sie zu Achsenbeschriftungen. Zeilen, die mit # beginnen, sind Kommentare.
Die eingefügten Daten bleiben in deinem Browser: Keine einzige Zeile wird irgendwohin gesendet.
So fügst du deine Daten ein
Du brauchst eine Zeile pro Messwertpaar, mit x in der ersten und y in der zweiten Spalte. Du kannst zwei Spalten direkt aus Excel, LibreOffice oder Google Sheets kopieren (sie kommen durch Tabulatoren getrennt an) oder Semikolons, Kommas oder einfache Leerzeichen verwenden. Das Dezimaltrennzeichen kann ein Komma oder ein Punkt sein, und wenn die automatische Erkennung danebenliegt, kannst du es im Auswahlmenü festlegen. Verwendet werden die ersten zwei Zahlen jeder Zeile, deshalb funktioniert auch eine eingefügte Tabelle, die vorne noch eine Spalte mit Bezeichnungen hat. Zeilen ohne zwei Zahlen bringen die Rechnung nicht durcheinander: Sie werden gezählt, und die Seite sagt dir, welche es sind.
Was die Methode der kleinsten Quadrate wirklich minimiert
Von allen möglichen Geraden wählt das Verfahren diejenige, bei der die Summe der quadrierten Residuen so klein wie möglich ist; die Residuen sind die senkrechten Abstände zwischen jedem Punkt und der Geraden (die grauen Strecken im Diagramm). Die Formeln lauten: m = Summe von (x minus Mittelwert von x) mal (y minus Mittelwert von y), geteilt durch die Summe von (x minus Mittelwert von x) zum Quadrat, und q = Mittelwert von y minus m mal Mittelwert von x. Eine Folge davon überrascht viele: Weil die Abstände senkrecht gemessen werden, sind die Regressionsgerade von y auf x und die von x auf y zwei verschiedene Geraden und nicht einfach die Umkehrung der jeweils anderen. Das Modell setzt voraus, dass die Unsicherheit bei y liegt und über den ganzen Bereich ungefähr gleich bleibt.
Was R² und die Korrelation aussagen und was nicht
R² ist der Anteil der Streuung von y, den die Gerade erklären kann (0,95 bedeutet, dass 5 Prozent unerklärt bleiben), während r zusätzlich das Vorzeichen trägt und dir sagt, ob der Zusammenhang steigt oder fällt. Bei der freien Geraden ist R² genau r zum Quadrat. Keiner der beiden Werte beweist einen ursächlichen Zusammenhang, und keiner bemerkt von sich aus eine Kurve: Das Anscombe-Quartett besteht genau aus vier Datenreihen mit derselben Geraden, denselben Mittelwerten und demselben R², und trotzdem ist nur eine davon die klassische lineare Punktwolke; die anderen verbergen eine Kurve, einen einzelnen Ausreißer und ein x, das sich nur in einer einzigen Zeile ändert. Deshalb zeigt dir das Tool immer die Punkte, die Residuen und die Zeile, die am weitesten von der Geraden entfernt ist, und die entpuppt sich in neun von zehn Fällen als Tippfehler.
Fehler, Intervalle und Vorhersage
Ab drei Punkten schätzt das Tool auch die Reststreuung s (die Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Residuen geteilt durch die Freiheitsgrade, also n minus 2) und daraus den Standardfehler der Steigung und des Achsenabschnitts. Die angezeigten Intervalle sind 95-Prozent-Intervalle auf Basis der Student-t-Verteilung mit diesen Freiheitsgraden. Die Vorhersage von y für ein neues x hat ein breiteres Band als die Gerade selbst, weil zur Unsicherheit der Geraden die einer einzelnen Messung hinzukommt, und es wird breiter, je weiter du dich von der Mitte der Daten entfernst. Liegt das eingegebene x außerhalb des gemessenen Bereichs, sagt die Seite dir das, denn dort draußen ist die Gerade nur eine Verlängerung, die von keinen Daten gestützt wird.
Kalibriergeraden, erzwungener Ursprung und klare Grenzen
Das Feld, das x aus einem gegebenen y berechnet, ist für Kalibriergeraden gedacht: Du misst das Signal einer unbekannten Probe und liest ihre Konzentration ab. Die angezeigte Unsicherheit verwendet die klassische Kalibrierformel und gilt, solange die Steigung gut bestimmt ist, also viel größer als ihr eigener Standardfehler. Die Option mit erzwungenem Ursprung setzt q = 0 und berechnet m als Summe von x mal y geteilt durch die Summe von x zum Quadrat: Das ist nur dann vertretbar, wenn dir die Physik sagt, dass y bei x = 0 null sein muss, und in diesem Fall kann das angezeigte R² (weiterhin gegen den Mittelwert von y gemessen) sogar negativ werden und darf nicht mit dem der freien Geraden verglichen werden. Multiple Regression, gewichtete kleinste Quadrate und Kurven gehören nicht hierher, denn hier geht es nur um eine einzige Gerade. Mit nur zwei Punkten ist das Ergebnis per Konstruktion exakt und daher nichtssagend.