Logarithmus berechnen
Gib die Zahl und die Basis ein und berechne den Logarithmus. Für den natürlichen Logarithmus schreib e als Basis.
Was ein Logarithmus ist, ohne Formeln
Ein Logarithmus beantwortet eine einzige Frage: Wie oft muss ich die Basis mit sich selbst multiplizieren, um diese Zahl zu erreichen? Der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 ist 3, weil 10×10×10 genau 1000 ergibt. Der Logarithmus von 1024 zur Basis 2 ist 10, weil du von 1 aus zehnmal verdoppeln musst, um 1024 zu erreichen. Er ist die Umkehrung des Potenzierens, genau wie die Division die Umkehrung der Multiplikation ist.
Wenn der Logarithmus eine ganze Zahl oder ein Bruch mit einem Nenner bis 12 ist, ist das Ergebnis hier exakt: Der Logarithmus von 2 zur Basis 8 ist 1/3, und die Seite prüft das, indem sie die Potenz mit ganzen Zahlen nachrechnet. In den anderen Fällen, etwa beim Logarithmus von 2 zur Basis 10, wird der Wert auf zwölf signifikante Stellen gerundet, und die Seite sagt es dir.
Die drei Basen, die dir begegnen
Basis 10 steckt hinter Dezibel, pH-Wert und Richterskala: Das sind alles Skalen, bei denen ein Schritt nach oben eine Multiplikation mit zehn bedeutet, deshalb ist ein Erdbeben der Stärke 6 nicht „ein bisschen stärker“ als eines der Stärke 5.
Basis 2 ist die der Informatik: Sie sagt, wie viele Bits du brauchst, um eine bestimmte Anzahl von Fällen zu unterscheiden (mit 10 Bits zählst du 1024 Werte), und wie oft man etwas halbieren kann. Basis e ≈ 2,718 ist der natürliche Logarithmus, der in jeder Wachstums- und Zerfallsformel von selbst auftaucht; um ihn hier zu verwenden, schreib einfach den Buchstaben e ins Feld Basis, das ist genauer als jede von Hand eingetippte Zahl.
Wofür man ihn im Alltag braucht
Zum Beispiel, um herauszufinden, in wie vielen Jahren sich etwas verdoppelt. Ein Betrag, der 5 % im Jahr bringt, verdoppelt sich in log(2) ÷ log(1,05) Jahren, also in gut vierzehn. Dieselbe Rechnung funktioniert für alles, was um einen festen Prozentsatz wächst: ein Abo, das teurer wird, Schulden mit Zinsen, die Abonnenten eines Kanals.
Wann es keinen Logarithmus gibt
Es gibt ihn nicht für null und negative Zahlen: Kein Exponent bringt eine positive Basis auf eine negative Zahl oder auf null. Und es gibt keine Basis 1: Eins mit sich selbst multipliziert ist immer eins, du kommst also nirgendwohin. In allen drei Fällen weist dich hier eine Meldung darauf hin, statt eine sinnlose Zahl anzuzeigen.
Siehe auch
Die Umkehroperation übernimmt der Potenzrechner. Für komplette Rechenausdrücke gibt es den wissenschaftlichen Taschenrechner, und wie stark ein Betrag über die Jahre wirklich wächst, zeigt das Tool Zinseszins berechnen.