Lineare Gleichungssysteme lösen
Gib die Koeffizienten eines 2x2- oder 3x3-Gleichungssystems ein und erhalte die Lösung in exakten Brüchen, den Rechenweg mit dem gewählten Verfahren und die Probe. Auch Systeme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen werden erklärt.
Die Felder akzeptieren ganze Zahlen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt und Brüche wie 3/2. Ein leeres Feld zählt als 0, und das Ergebnis schreibt das System immer so hin, wie es gelesen wurde.
So benutzt du das Tool
Wähle, ob das System 2 oder 3 Gleichungen hat, und schreib dann die Koeffizienten in das Raster: Jede Zeile ist eine Gleichung, und das letzte Feld nach dem Gleichheitszeichen ist das Absolutglied. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 3/2 funktionieren. Kommt eine Unbekannte in einer Gleichung nicht vor, lass das Feld leer oder schreib 0. Das Ergebnisfeld schreibt das System immer so hin, wie es gelesen wurde: So fällt ein falsches Vorzeichen auf, noch bevor du dir die Lösung ansiehst.
Warum die Lösung als Bruch erscheint
Nimm das System 0,1x + 0,2y = 0,3 mit x - y = 0: Die Lösung ist x = 1, doch ein Rechner mit Gleitkommazahlen antwortet 0,9999999999999998, weil 0,1 + 0,2 im Binärsystem nicht genau 0,3 ergibt. Hier wird mit Brüchen aus ganzzahligem Zähler und Nenner gerechnet, sodass diese Lösung genau 1 ergibt und 1/3 auch 1/3 bleibt, statt zu 0,333 zu werden. Neben dem Bruch steht der Dezimalwert, eingeleitet mit =, wenn die Dezimalschreibweise wirklich endet, und mit ≈, wenn er gerundet ist, damit nichts Gerundetes als exakt durchgeht.
Die drei Verfahren und wann sich welches lohnt
Das Einsetzungsverfahren löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setzt sie in die anderen ein; es bietet sich an, wenn ein Koeffizient schon 1 ist. Das Eliminationsverfahren arbeitet mit den Zeilen der Koeffiziententabelle, indem es sie zueinander addiert (das ist das Gaußsche Eliminationsverfahren, in der Schule auch Additionsverfahren genannt), und lässt sich gut auf den 3x3-Fall übertragen. Die Cramersche Regel berechnet eine Determinante für das System und eine pro Unbekannte. Das ist praktisch, wenn du nur eine einzige Unbekannte brauchst, funktioniert aber nur, wenn die Determinante D nicht null ist. Die Antwort hängt nie vom Verfahren ab, nur der Rechenweg ändert sich.
Keine oder unendlich viele Lösungen, ohne die falsche Faustregel
Ein System hat keine Lösung, wenn sich die Gleichungen widersprechen (zwei verschiedene parallele Geraden), und unendlich viele, wenn eine Gleichung eine andere nur wiederholt (dieselbe Gerade); dann werden die Lösungen mit einem Parameter geschrieben. Viele Lehrbücher sagen: Sind D, Dx und Dy alle null, gibt es unendlich viele Lösungen. Das stimmt nicht immer: Beim System 0x + 0y = 0 und 0x + 0y = 1 sind alle Determinanten null, und trotzdem hat es überhaupt keine Lösung. Deshalb wird der Fall hier entschieden, indem die Gleichungen tatsächlich umgeformt und die übrig bleibenden unabhängigen Gleichungen gezählt werden; die Determinante wird nur als Hinweis angegeben.
Grenzen des Tools
Dieses Tool löst quadratische lineare Systeme, also 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten oder 3 mit 3 Unbekannten. Es verarbeitet keine Potenzen oder Produkte von Unbekannten (kein x², kein xy), keine Systeme mit mehr Gleichungen als Unbekannten, keine Ungleichungen und keine Buchstabenparameter in den Koeffizienten. Jede Zahl darf höchstens 12 Vorkommastellen und 10 Nachkommastellen haben. Alles wird in deinem Browser berechnet, es werden keine Daten verschickt. Die Probe von Hand bleibt eine gute Gewohnheit, und hier steht sie schon Schritt für Schritt da.