Ungleichungen lösen
Gib die Ungleichung so ein, wie sie im Buch steht, auch als Bruch oder schon faktorisiert: Du erhältst die Lösungsmenge so, wie die Schule sie verlangt, die Intervallschreibweise und die gezeichnete Vorzeichentabelle.
Oder probiere ein Beispiel:
Die drei Antworten, die keine Zahl sind
Eine quadratische Ungleichung endet nicht immer mit zwei Zahlen und einem Intervall, und die drei übrigen Fälle sind genau die, bei denen man sich vertut. Ist die Diskriminante negativ, berührt die Parabel die x-Achse nie: mit dem passenden Zeichen ist die Ungleichung immer erfüllt, also ist jede reelle Zahl eine Lösung, und mit dem entgegengesetzten Zeichen hat sie überhaupt keine Lösung. Ist die Diskriminante null, berührt die Parabel die x-Achse in einem einzigen Punkt: Mit einem echten Größer-Zeichen ist jede Zahl außer dieser einen eine Lösung, und mit einem echten Kleiner-Zeichen keine einzige.
Das sind richtige Antworten, keine Fehler: Die leere Menge ist eine Antwort, und „jede reelle Zahl“ ist es auch. Die Seite schreibt sie in Worten und in Symbolen, denn in einer Klassenarbeit sind „unmöglich“ und „keine Lösung“ nicht derselbe Satz, und der zweite ist der richtige. Steht in deiner Aufgabe ein Gleichheitszeichen statt eines Größer- oder Kleiner-Zeichens, brauchst du die Seite Quadratische Gleichung lösen.
Die Vorzeichentabelle, gezeichnet
Das Vorzeichen eines Produkts ist das Produkt der Vorzeichen, und deshalb löst man eine Ungleichung, indem man faktorisiert und dann die Faktoren anschaut, und zwar einen Faktor nach dem anderen. Die Seite zeichnet die Tabelle so, wie du sie im Heft zeichnest: eine Zeile pro Faktor, die Nullstellen in Spalten, die Linie durchgezogen, wo der Faktor positiv ist, und gestrichelt, wo er negativ ist. Die letzte Zeile ist das Vorzeichen des ganzen Ausdrucks, mit Plus und Minus Intervall für Intervall.
Die Zeilen der Faktoren im Nenner sind grau, weil sie für das Vorzeichen genauso zählen wie die anderen, ihre Nullstellen aber nicht zu den Lösungen gehören. Die Spalten der kritischen Stellen stehen in aufsteigender Reihenfolge, und irrationale Nullstellen stehen in der richtigen Spalte, auch wenn sich ihr Wert nur gerundet ablesen lässt. Wenn du zuerst eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen musst, gibt es Primfaktorzerlegung.
Die Nullstellen des Nenners fallen weg, und die Seite sagt, warum
Bei einer Bruchungleichung gehört die Zahl, für die der Nenner null wird, nie zu den Lösungen, auch nicht bei ≤ oder ≥: Der Bruch existiert dort nicht, er ist nicht etwa gleich null. Das ist der häufigste Fehler bei Bruchungleichungen, und eine runde Klammer allein bringt ihn dir nicht bei, denn genau diese Klammer steht auch neben unendlich. Deshalb schreibt die Seite es als Satz: Dieser Wert muss ausgeschlossen werden, weil er den Nenner null macht.
Es gibt einen Fall, in dem sich auch Bücher vertun: Kommt derselbe Faktor oben und unten vor und kürzt sich weg, bleibt der Punkt trotzdem außerhalb der Definitionsmenge. Bei etwas wie (x-1)(x+2)/(x-1) funktioniert der Wert 1 nicht, auch wenn man ihn nach dem Kürzen nicht mehr sieht. Hier wird die Definitionsmenge schon beim Einlesen der Ungleichung erfasst, vor jedem Kürzen, sodass dieser Punkt nicht verloren geht. Wenn du nur den Wert eines Zahlenterms Schritt für Schritt brauchst, nimm die Seite Terme Schritt für Schritt berechnen.
So gibst du sie ein, und was ich nicht mache
Du gibst sie vollständig ein, mit dem Zeichen in der Mitte: x^2 - 5x + 6 > 0 oder (x-1)/(x+2) >= 0 oder schon faktorisiert wie (x-1)(x+3)(x-5) < 0. Das Malzeichen kannst du weglassen (2x, 3(x+1)), die Potenz ist das Zeichen ^, und die Zeichen kannst du auch als <= und >= schreiben. Auf beiden Seiten darf etwas stehen: Alles nach links zu bringen ist meine Aufgabe, und dieser Schritt wird angezeigt.
Was ich nicht mache, sage ich offen und überlasse es nicht dem Raten: keine Beträge, keine Unbekannte unter einer Wurzel oder im Exponenten, keine Logarithmen, keine Parameter in den Koeffizienten (die Antwort hinge vom Vorzeichen dieses Parameters ab) und keine Systeme, also zwei Ungleichungen zusammen wie -1 < x < 3. Und wenn nach dem Faktorisieren ein Faktor vom Grad größer als zwei übrig bleibt, der sich nicht zerlegen lässt, sage ich das, statt aufs Geratewohl zu antworten. Für Gleichungen mit zwei Unbekannten in einem System gibt es Gleichungssysteme lösen.