Resolver inequação

As três respostas que não são um número

Uma inequação do segundo grau nem sempre termina com dois números e um intervalo, e os três casos que sobram são justamente os que mais geram erro. Se o discriminante é negativo, o trinômio nunca toca o eixo: com o sinal correspondente ela é sempre verdadeira, ou seja, qualquer número real serve, e com o sinal oposto ela não tem solução nenhuma. Se o discriminante é zero, o trinômio toca o eixo em um único ponto: com um “maior que” estrito, todo número serve, exceto aquele, e com um “menor que” estrito, nenhum serve.

Essas são respostas corretas, não erros: um conjunto vazio é uma resposta, e “todos os números reais” também. A página escreve essas respostas por extenso, além dos símbolos, porque numa prova escrita “impossível” e “sem solução” não são a mesma frase, e a segunda é a certa. Se o que você tem em mãos traz um sinal de igual em vez de maior ou menor que, a página de que você precisa é a Equação do segundo grau.

O quadro de sinais, desenhado

O sinal de um produto é o produto dos sinais, e é por isso que uma inequação se resolve fatorando e depois olhando um fator de cada vez. A página desenha o quadro como você faria no caderno: uma linha por fator, os pontos que o anulam em colunas, a linha contínua onde esse fator é positivo e tracejada onde ele é negativo. A última linha é o sinal da expressão inteira, com o mais e o menos intervalo por intervalo.

As linhas dos fatores que estão no denominador ficam em cinza, porque contam para o sinal exatamente como as outras, mas os zeros delas ficam fora das soluções. As colunas dos pontos críticos estão em ordem crescente, e as raízes irracionais ficam na coluna certa mesmo quando o valor delas só pode ser lido arredondado. Se antes você só precisa fatorar um polinômio, existe a ferramenta Fatoração de polinômios.

Os zeros do denominador ficam de fora, e a página explica por quê

Numa inequação racional, o número que zera o denominador nunca entra nas soluções, nem mesmo quando o sinal é o não estrito: a fração não existe ali, não é que ela seja igual a zero. É o erro mais frequente nas inequações racionais, e um parêntese sozinho não ensina isso, porque esse mesmo parêntese também é usado junto ao infinito. Por isso a página escreve uma frase: esse valor precisa ficar de fora porque zera o denominador.

Há um caso em que até os livros escorregam: se o mesmo fator aparece em cima e embaixo e se cancela, o ponto continua fora do domínio. Em algo como (x-1)(x+2)/(x-1), o valor 1 não serve, mesmo que, depois do cancelamento, ele não apareça mais. Aqui o domínio é registrado enquanto a inequação é lida, antes de qualquer cancelamento, de modo que esse ponto não se perde. Se você só precisa do valor de uma expressão numérica passo a passo, a página é Resolver uma expressão passo a passo.

Como digitar, e o que eu não faço

Você digita a inequação inteira, com o sinal no meio: x^2 - 5x + 6 > 0, ou (x-1)/(x+2) >= 0, ou já fatorada como (x-1)(x+3)(x-5) < 0. O sinal de vezes pode ser omitido (2x, 3(x+1)), a potência é o sinal ^ e os sinais também podem ser digitados como <= e >=. Os dois lados podem estar preenchidos: passar tudo para a esquerda é trabalho meu, e esse passo fica registrado.

O que eu não faço fica declarado em vez de ficar para você adivinhar: nada de valor absoluto, nada de incógnita embaixo de uma raiz ou no expoente, nada de logaritmos, nada de parâmetros com letras nos coeficientes (a resposta dependeria do sinal desse parâmetro) e nada de sistemas, isto é, duas inequações juntas como -1 < x < 3. E se, depois de fatorar, sobrar uma parte de grau maior que dois que não se decompõe, eu aviso em vez de chutar uma resposta. Para equações com duas incógnitas reunidas em um sistema, existe a ferramenta Sistemas de equações.